DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

Entre las distribuciones a tratar en esta unidad serían:

1. Distribución Normal
2. Aproximación de la Normal a la Binomial
3. Exponencial

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Características:

a)      Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;

                                     -¥< x < ¥

b)      La función que nos define esta distribución es:

                                                       -¥< x < ¥

 Al dar a la función los valores de m , s² y valores a x, obtendremos la      distribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de funciones de densidad Normal, una para cada combinación de m y s. La media m mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar s mide su dispersión.

                  c)   Es simétrica con respecto a su eje vertical.

d)  Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar el eje de las equis.

e)   El área total bajo la curva es 1.

f)   Sí sumamos a  m ± s, se observará que aproximadamente el 68.26% de los       datos se encuentran bajo la curva,  si sumamos a m ± 2s, el 95.44% de los datos estará entre esos límites y si sumamos a m ± 3s, entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?

De acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas en la unidad III, lo más lógico es que la función f(x, m, s²), se integre entre los límites de la variable x; esto es,

          

La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada.

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:

                                          

Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos dá el área que se muestra a continuación:

 

Ejemplos:

1.      El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y  una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?

Solución:

x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas

m = 0.635 pulgadas

s = 0.082 pulgadas

 

          

p(z = -2.41) = 0.492

p(x < 7/16 pulgadas) = 0.5- p(z = -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008

Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas

2.      Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas?

Solución:

a) Tubo 1

X₁ = variable que nos define la duración en horas de un tubo fluorescente

m = 7,000 horas

s = 1,000 horas

Tubo 2

X₂ = variable que nos define la duración del tubo fluorescente del competidor

m = 7,500 horas

s = 1,200 horas

 

                                                      p(z₁ = 2.00) = 0.4772

                            

p(x₁ > 9,000 horas) = 0.5 – p(z₁ = 2.00) = 0.5 – 0.4772 =  0.0228                            

 

                                              p(z₂ = 1.25) = 0.3944

p(x₂ > 9,000 horas) = 0.5 – p(z₂ = 1.25) = 0.5 –0.3944 = 0.1056

Por tanto el tubo fluorescente del competidor tiene una probabilidad mayor de durar más de 9,000 horas.

b)

 

                                p(z₁ = -2.00) = 0.4772                                   

     

p(x₁ < 5,000 horas) = 0.5 – p(z₁ = -2.00) = 0.5 – 0.4772 = 0.0228

 

                                p(z₂ = -2.08) = 0.4812

                                        

p(x₂ < 5,000 horas) = 0.5 – p(z₂ = - 2.08) = 0.5 – 0.4812 =  0.0188

Por tanto, el tubo fluorescente que tiene una mayor probabilidad de durar menos de 5,000 horas es el del primer fabricante.

3.      La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50.

a)      ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores?

b)      ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores?

c)      Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?

Solución:

a) X = variable que nos indica el número de interruptores demandados por día a una compañía de cable

m = 200 interruptores por día

s = 50 interruptores por día

		X = 90		m = 200

 

                 p(z = - 2.20) = 0.4861

p(x < 90) = 0.5 – p(z = -2.20) = 0.5 – 0.4861 = 0.0139

Por tanto, 0.0139 x 100% = 1.39% de los días se tendrá una demanda  menor de 90 interruptores.

b)

 

                            p(z₁= 0.50) = 0.1915

                            p(z₂ = 1.50) = 0.4332

p(225£ x ³ 275) = p(z₂) – p(z₁) = 0.4332 – 0.1915 = 0.2417

Por tanto, 0.2417 x 100% = 24.17% de los días se tendrá una demanda entre 225 y 275 interruptores.

c)      En este caso se trata de determinar que valor toma x cuando se pretende cumplir con el 94% de la demanda de todos los días.

Por tanto despejaremos de la fórmula de z;

 

       ;               x = m + zs

x = m + z(p = 0.44)s = 200 + z(p = 0.44)(50) =

= 200 + (1.55)(50) = 277.5 @ 278 interruptores            terminales por día

¿cómo se obtiene el valor de z?

En la tabla buscamos la z que corresponde a una probabilidad de 0.44 y nos damos cuenta de que no existe un valor exacto de 0.44 por lo que tomamos los valores de área más cercanos; luego,

z(p = 0.4394) = 1.50;                   z(p = 0.4406) = 1.60

Por tanto si interpolamos, encontramos que el valor de z  para una probabilidad de 0.44 es de 1.55, y es el valor que se sustituye en la ecuación.

¿Cuál es la razón de usar un área de 0.44 en lugar de una de 0.94 para buscar en la tabla el valor de z?

Es muy simple, la tabla que estamos usando es una tabla que solo trabaja con áreas que son definidas de la media hasta el valor de x y x puede estar tanto del lado derecho de la media, como del lado izquierdo de la media, es por esto que el área a utilizar es de 0.44 que se encuentra al lado derecho de la media.

Problemas Propuestos 4

1.       En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos la necesidad de dinero para comprar estupefacientes.  Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esa área

a)      exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas;

b)      cuando mucho 3 se debieran a la misma razón arriba indicada.

                                                                                        r. a) 0.0879

                                                                                           b) 0.3672

2.       Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos han sido contaminada por la mosca del mediterráneo.  Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 duraznos

a)      los 4 estén contaminados por la mosca del mediterráneo

b)      cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada.

                                                                                        r. a) 16/81

                                                                                           b) 64/61

3.       De acuerdo con una investigación llevada a cabo por la Administrative Management Society, 1/3 de las compañías en Estados Unidos le dan a sus empleados cuatro semanas de vacaciones después de 15 años de servicio.  Encuentre la probabilidad de que 6 de las compañías investigadas al azar, el número que les dan a sus empleados cuatro semanas de vacaciones después de 15 años de servicio es

a)      cualquier cantidad entre 2 y 5;

b)      menos de 3.

                                                                                                          r. a) 0.647

                                                                                                             b) 0.680

4.       De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachussets, aproximadamente 60% de los adictos al Valium en el estado de Massachussets, lo tomaron por primera vez debido a problemas psicológicos.  Encuentre la  probabilidad de que los siguientes 8 adictos entrevistados

a)      exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas psicológicos.

b)      al menos 5 de ellos comenzaran a tomarlo por problemas que no fueron psicológicos.

                                                                                        r. a) 0.1239

                                                                                           b) 0.5941

5.       Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados.  De los siguientes 15 camiones probados encuentre la probabilidad de que

a)      de 3 a 6 tengan ponchaduras;

b)      menos de 4 tengan ponchaduras;

c)      más de 5 tengan ponchaduras

                                                                                                          r. a) 0.7073

     b) 0.4613

                                                                                                              c) 0.1484

6.       De acuerdo con un reporte publicado en la revista Parade, septiembre 14 de 1980, una investigación a nivel nacional llevada a cabo por la Universidad de Michigan reveló que casi el 70% de los estudiantes del último año desaprueban las medidas para controlar el hábito de fumar mariguana todos los días. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinión, encuentre la probabilidad de que el número que desaprueba  dicha medida sea

a)      cualquier cantidad entre 7 y 9

b)      cuando mucho 5;

c)      no menos de 8

                                                                                        r. a) 0.6294

                                                                                           b) 0.0386

                                                                                           c) 0.7237

7.       La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los próximos 7 pacientes que se sometan a esta intervención sobrevivan?

                                                                                                    r. 0.1240

8.       Un ingeniero de control de tráfico reporta que el 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 7 de los siguientes 9 vehículos no sean del estado?

                                                                                                    r. 0.8343

9.       Una investigación de los residentes de una ciudad de Estados Unidos mostró que 20% preferían un teléfono blanco que de cualquier otro color disponible.  ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los siguientes 20 teléfonos que se instalen en esta ciudad sean de color blanco?

                                                                                                    r. 0.0006

10.   Se sabe que el 40% de los ratones inyectados con un suero quedan protegidos contra una cierta enfermedad.  Si 5 ratones son inyectados, encuentre la probabilidad de que

a)      ninguno contraiga la enfermedad;

b)      menos de 2 la contraigan;

c)      más de 3 la contraigan

                                                                                        r. a) 0.0778

                                                                                           b) 0.3370

                                                                                           c) 0.0870

11.   Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y de que fallan con una probabilidad de 0.4.  Suponiendo que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de sus  motores, determine qué aeroplano, uno de los 4 motores o uno de 2, tiene mayor probabilidad de terminar su vuelo exitosamente.

r. 0.8208 y 0.8400; ***

    2- plano del motor

12.   Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema propuesto 7.

                                                                                                    r. m=6.3 @ 6 y s²=0.63

13.   Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema propuesto 9.

                                                                                                    r. m=4 y s²=3.2

14.   De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4.  Encuentre la probabilidad de que de 8 descendientes 5 sean rojos, 2 negros y 1 blanco.

                                                                                                          r. 21/256

15.   Las probabilidades son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a cierta convención, llegue en autobús, 3en automóvil o en tren.  ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención, 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en automóvil y 2 en tren.

                                                                                                          r. 0.0077                                                                                                      

16.   El dueño de una casa planta 6 tallos que selecciona al azar de una caja que contiene 5 tallos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 tallos de narciso y 4 de tulipán?

                                                                                                    r. 5/14

17.   Un comité de tres integrantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 4 doctores y 2 enfermeras.  Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatroria X que representa el número de doctores en el comité.  Encuentre P(2 £ X £ 3).

                                                                                                                                                                       x=1, 2, 3

18.   Una compañía está interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos.  El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de 2 están defectuosas.  ¿qué proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados?

                                                                                                    r. 0.9517

19.   La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad posea un perro se estima en 0.3.  Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada aleatoriamente en esta ciudad sea la quinta persona que posee un perro.

                                                                                                          r. 0.0515

20.   Un científico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una enfermedad hasta que obtiene 2 que la han contraído.  Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6. ¿cuál es la probabilidad de que se requieran 8 ratones?

                                                                                                    r. 0.0651

21.   Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una famosa actriz es de 0.8.  ¿Cuál es la probabilidad de que

a)      la sexta persona que escucha tal historia sea la cuarta que la crea?

b)      La tercera persona que escucha tal historia sea la primera en creerla?

                                                                                        r. a) 0.1638

                                                                                           b) 0.032

22.   Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja paga los cafés.  Si todas las monedas caen iguales, se lanzan nuevamente.  Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos.

                                                                                                    r. 63/64

23.   La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7.  Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen

a)      en el tercer intento

b)      antes del cuarto intento

                                                                                        r. a) 0.0630

                                                                                           b) 0.9730

24.   En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección

a)      ocurran exactamente 5 accidentes?

b)      ocurran menos de 3 accidentes?

                                                                                        r. a) 0.1008

                                                                                           b) 0.4232

25.   Una cierta área del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes al año.  Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área sea afectada por

a)      menos de 4 huracanes;

b)      cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

                                                                                        r. a) 0.1512

                                                                                           b) 0.4015

26.   En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo en particular en una bodega era de 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día este artículo sea requerido

a)      más de 5 veces?

b)      Ni una sola vez?

                                                                                        r. a) 0.3840                

                                                                                                             b) 0.0067

27.   El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo de 5 acres se estima que es de 12.  Encuentre la probabilidad de que menos de 7 ratas de campo se encuentren

a)      en una acre de terreno determinado;

b)      en 2 de los siguientes 3 acres inspeccionados.

                                                                                        r. a) 0.0458

                                             b) 0.0060

28.   Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes.  Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 verduras

a)      en un determinado día;

b)      en 3 de los siguientes 4 días;

c)      por primera vez el 5 de abril.

                                                                                        r. a) 0.3840

                                                                                           b) 0.1395

                                                                                           c) 0. 0553

29.   La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002.  Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas infectadas.

                                                                                                    r. 0.6288

30.   Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos.  Si se seleccionan al azar 10 000 formas y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error.

                                                                                                    r. 0.2657

31.   La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004.  De los siguientes 1875 estudiantes revisados encuentre la probabilidad de que

a)      menos de 5 presenten este problema

b)      8, 9 o 10 presenten este problema

                                                                                        r. a) 0.1321

                                                                                           b) 0.3376

32.   En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso.  A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0.05.  El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentran dos o más defectos.  Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectos se incremente.

a)      ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga? (suponga un 5% de defectos)

b)      Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a 0.07.  ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga?

                                                                                       

                                                                                       

33.   Se está considerando la producción de una máquina automática de soldar.  Se considerará exitosa si tiene una efectividad del 99% en sus soldaduras.  De otra manera, no se considerará eficiente.  Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizan 100 soldaduras.  La máquina se aceptará para su fabricación si no son defectuosas más de tres soldaduras.

a)      ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina eficiente sea rechazada?

b)      ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina ineficiente con 95% de soldaduras correctas sea aceptada?

34.   Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford, 7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Datsun y 4 Toyota.  Si la agencia selecciona aleatoriamente 9 de estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en el centro de la ciudad, encuentre la probabilidad  de que se utilicen 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Datsun y 2 Toyota.

35. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo con un proceso de Poisson y en un promedio entran 2.7 llamadas por minuto.  Encuentre la probabilidad de que:

a)      no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera;

b)      menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera;

más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos.