Esta también es un caso especial de la distribución Binomial, ya que en este caso se trata de que al llevar a efecto varias veces un experimento binomial, se desea determinar la probabilidad de que ocurran r éxitos, solo que el último de ellos debe ocurrir en el k-ésimo ensayo o repetición del experimento que es el último.
Para encontrar una fórmula que nos permita calcular probabilidades con esta distribución, partiremos de un ejemplo.
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que aparezcan tres águilas, y la última que aparezca sea en el último lanzamiento.
Solución:
Sí trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, encontraremos que las ramas que nos interesan son aquellas en donde aparecen 3 águilas y la última de ellas aparece en el último lanzamiento; ejemplos de una rama que nos interesa sería;
SAASSSSA, SSASSSAA, ASSASSSA, etc., etc.
Entonces la probabilidad se puede determinar de la siguiente forma:
(Probabilidad de que aparezcan Tres águilas, donde la última de ellas aparece en el último lanzamiento de la moneda)=(# de ramas del árbol en donde la tercera águila que aparece está en el octavo lanzamiento)(probabilidad asociada a cada rama)
Luego, definiendo algunos términos a utilizar;
Y = k = número de lanzamientos necesarios para que se obtenga una águila por r-ésima vez = 8 lanzamientos
r = número de veces que aparece un éxito = 3 águilas
p = probabilidad de éxito = p(aparezca águila) = 2/3
q = probabilidad de fracaso = p(aparezca sello) = 1/3
Luego, el número de ramas que nos interesan del árbol se podría determinar de la siguiente forma:
# de ramas = 
¿Cual es la razón de que se tomen k-1 ensayos y r-1 éxitos al momento de calcular el número de ramas que nos interesan?
Lo anterior se debe a que en el último ensayo siempre va a haber un éxito, por lo que como éste no se va a mover como lo hacen los éxitos anteriores, entonces no se toma en cuenta para el cálculo de las ramas que nos interesan.
Y la probabilidad asociada a cada rama sería;
Probabilidad asociada a cada rama = p(S)*p(A)*p(A)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A)=
= q*p*p*q*q*q*q*p = 
Por lo tanto, la fórmula a utilizar sería:
Donde:
P(Y=k) = probabilidad de que ocurran r éxitos en k ensayos y que el último de ellos que es el r-ésimo, ocurra en el k-ésimo ensayo que es el último.
r = número de éxitos
k = número de ensayos para obtener r éxitos
p = p(éxito) = p(aparezca águila)
q = p(fracaso) = p(aparezca sello) = 1-p
Ejemplos:
1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviación excesiva?.
Solución:
a) k = 6 dispositivos de medición
r = 3 dispositivos que muestran desviación excesiva
p = p(dispositivo muestre una desviación excesiva) = 0.05
q = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95
p(Y = 6) =
b) k = 7 dispositivos de medición
r = 4 dispositivos que no muestran una desviación excesiva
p = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95
q = p(dispositivo muestre una desviación excesiva) = 0.05
p(Y = 7) = 
2. Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta compañía en un año dado sea el tercero en requerir reparaciones en un año?.
Solución:
a) k = 6 pozos
r = 2 pozos que requieren reparaciones en un año
p = p(pozo requiera reparaciones en un año) = 0.20
q = p(pozo no requiera reparaciones en un año) = 0.80
p(Y = 6) =
b) k = 8 pozos
r = 3 pozos que requieren reparaciones en un año
p = p(pozo requiera reparaciones en un año) = 0.20
q = p(pozo no requiera reparaciones en un año) = 0.80
p(Y = 8) =
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