ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES

Sea d un espacio muestral que contiene n elementos, d = {a₁, a₂, a₃,....,a_n}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, p_i = 1/n por tener n elementos d, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones:

1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, p_i ³ 0.

2. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1.

Sp_i = 1

En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores, entonces no se trata de un espacio finito equiprobable.

Solo en el caso de espacios finitos equiprobables, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, entonces;

            p(A) = r*1/n = r/n

p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Número de elementos del espacio muestral

r = maneras de que ocurra el evento A

1/n = probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral

n = número de elementos del espacio muestral

Ejemplos:

1. Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente equilibrada) tres veces, determine la probabilidad de que: a. Aparezcan puros sellos, b. Aparezcan dos águilas, c. Aparezcan por lo menos dos águilas.

Solución:

Para calcular las probabilidades de este problema, hay que definir el espacio muestral en cuestión; si representamos los tres lanzamientos de la moneda mediante un diagrama de árbol, encontraremos que el espacio muestral o el conjunto de todos los resultados posibles es:

            d = {AAA, ASS, SAS, SSA, AAS, SAA, ASA, SSS}

1. A = evento de que aparezcan puros sellos = {SSS}

 p(A) = p(aparezcan puros sellos) = p(SSS) = 1/8 = 0.125

¿Porqué un octavo?, sí el espacio muestral consta de 8 elementos como se ha observado, entonces la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral es de 1/8, por ser un espacio finito equiprobable ya que cada uno de los elementos mostrados tiene la misma probabilidad de ocurrencia.

2. B = evento de que aparezcan dos águilas = {AAS, SAA, ASA}

p(B) = p(aparezcan dos águilas) = p(AAS, SAA, ASA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

3. C = evento de que aparezcan por lo menos dos águilas = {AAS, SAA, ASA, AAA}

p(C) = p(AAS, SAA, ASA, AAA)=p(aparezcan dos águilas) + p(aparezcan tres águilas)

p(C) = 4/8 = 1/2 = 0.5

2. En un lote de producción que consta de 20 computadoras personales de cierta marca, se ha detectado que 4 tienen defectos de tipo operacional. 1. Si se selecciona al azar una computadora, a. Determine la probabilidad de que la computadora seleccionada tenga defectos de tipo operacional, b. ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos de tipo operacional?. 2. Si se seleccionan al azar 4 computadoras de este lote, determine la probabilidad de que: a. Solo tres tengan defectos de tipo operacional, b. Por lo menos dos tengan defectos de tipo operacional, c. Como máximo una tenga defectos de tipo operacional.

Solución:

Para el punto 2.1, cuando se selecciona de un lote un solo elemento, entonces el espacio muestral está compuesto de entes unitarios, que son cada una de las computadoras,

                                       d = {20 computadoras}

1. A = evento de que una computadora tenga defectos de tipo operacional

                                      p(A) = 5/20 = 0.25

2. B = evento de que una computadora no tenga defectos de tipo operacional

                                      p(B) = 1 - p(A) = 1 – 0.25 = 0.75

2.2   Al seleccionar del lote más de una computadora, el espacio muestral ya no estará compuesto por entes unitarios, estará formado por todos los grupos que se puedan formar de 4 computadoras seleccionadas de entre 20 que se tienen,

          d{₂₀C₄ = 4,845 maneras de seleccionar las cuatro computadoras al azar}

Dicho de otra forma serían 4,845 muestras de cuatro computadoras, entre estas muestras hay algunas que contienen puras computadoras defectuosas o puras sin defectos y otras muestras que tienen una mezcla de computadoras con defectos y sin defectos.

1. C = evento de que tres de las computadoras seleccionadas tengan defectos de tipo operacional

C = {₄C₃*₁₆C₁ = 4*16 = 64 muestras de cuatro computadoras que contienen tres

     defectuosas}

p(C) = 64/d = 64/4,845 = 0.013209

2. D = evento de que dos o más computadoras tengan defectos de tipo operacional

D = {2 con defectos, 3 con defectos o 4 con defectos}

D = {₄C₂*₁₆C₂ + ₄C₃*₁₆C₁ + ₄C₄*₁₆C₀ = 6*120 + 4*16 + 1 = 720 + 64 + 1 = 785}

El evento D consta de 785 muestras, en las que por lo menos dos de las cuatro computadoras seleccionadas tienen defectos.

p(D) = número de elementos del evento D/ número de elementos del espacio muestral

p(D) = 785/d = 785/4,845 = 0.162022

3. E = evento de que como máximo una de las computadoras seleccionadas tenga defectos de tipo operacional

E = {0 con defectos o 1 con defectos}

E = {₄C₀*₁₆C₄ + ₄C₁*₁₆C₃ = 1*1,820 + 4*560 = 1820 + 2240 = 4,060 muestras}

El evento E contiene 4,060 muestras que contienen una o ninguna computadora defectuosa, por lo que;

p(E) = 4,060/d = 4,060/4,845 = 0.83797

¿Porqué utilizar combinaciones para obtener la probabilidad en lugar de permutaciones?, en este caso no se habla de algún orden para seleccionar las computadoras es el motivo por el cual se usaron combinaciones, pero si decimos que se toman cuatro computadoras del lote y se pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que la primera y segunda computadora seleccionada tengan defectos de tipo operativo y que la tercera y cuarta no tengan defecto alguno?

En este caso el espacio muestral se determina haciendo uso de permutaciones ya que se trata de una prueba ordenada; como se observa a continuación:

d = {₂₀P₄ = 20!/(20 – 4)! = 20!/16! = 116,280 maneras de seleccionar cuatro computadoras una tras otra}

F = evento de que la primera y segunda computadora tengan defectos y que la tercera y cuarta no tengan defectos

F = {₄P₂*₁₆P₂ = 4 x 3 x 16 x 15 = 2,880 muestras en donde la primera y segunda computadora tienen defectos y la tercera y cuarta no tienen defectos}

p(F) = 2,880/116,280 = 0.024767

3. Se seleccionan dos números al azar de entre los dígitos del 1 al 9, a. Determine la probabilidad de que ambos números seleccionados sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.

Solución:

Para obtener el espacio muestral de este problema podemos hacer uso de un diagrama de árbol en donde se represente la selección del primer número y luego la del segundo número, encontrándose que los pares de números a elegir serían 36, como se muestran a continuación.

        (1,2)  (2,3)  (3,4)  (4,5)  (5,6)  (6,7)  (7,8)  (8,9) 

        (1,3)  (2,4)  (3,5)  (4,6)  (5,7)  (6,8)  (7,9) 

d =   (1,4)  (2,5)  (3,6)  (4,7)  (5,8)  (6,9) 

        (1,5)  (2,6)  (3,7)  (4,8)  (5,9)

        (1,6)  (2,7)  (3,8)  (4,9)

        (1,7)  (2,8)  (3,9)

        (1,8)  (2,9) 

        (1,9)

1. Definiendo un evento A = evento de que los dos números seleccionados sean pares

Luego, A = {(2,4,  (2,6),  (2,8),  (4,6),  (4,8),  (6,8)}

p(A) = 6/36 = 1/6 = 0.1667

2. B = evento de que los dos números seleccionados sean impares

Luego, B = {(1,3), (1,5),  (1,7),  (1,9),  (3,5),  (3,7),  (3,9), (5,7), (5,9), (7,9)}

p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778

Otra forma de resolver este problema es haciendo uso de combinaciones, donde;

            

                 d = {₉C₂ = 36 maneras de seleccionar los dos números}

1. A = {selección de dos números de entre (2, 4, 6 y 8), ₄C₂ = 6 maneras de seleccionar dos números pares}

p(A) = ₄C₂/₉C₂ = 6/36 = 1/6 = 0.1667

b. B = {selección de dos números impares, se seleccionan de entra (1, 3, 5, 7 y 9), ₅C₂ = 10 maneras de hacer la selección }

p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778

4. Dada la siguiente tabla referente a la producción de flechas para camión de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los resultados obtenidos en la inspección:

TIPO DE FLECHA

DEFECTO	A	B	C	D	TOTAL
I	54	23	40	15	132
II	28	12	14	5	59
S-DEF	118	165	246	380	909
TOTAL	200	200	300	400	1100

Se selecciona una flecha al azar de las inspeccionadas, determine la probabilidad de que: a. La flecha seleccionada sea del tipo B, b. La flecha seleccionada no tenga defectos, c. La flecha seleccionada tenga defectos del tipo II, d. La flecha seleccionada tenga cualquier tipo de defecto.

Solución:

1. p( flecha sea tipo B) = 200/1,100 = 0.18182

2. p(flecha no tenga defectos) = 909/1,100 = 0.82636

3. p(flecha con defectos del tipo II) = 59/1,100 = 0.05363

4. p(flecha tenga cualquier tipo de defecto) = p(def tipo I) + p(def tipo II) =

= 132/1,100 + 59/1,100 = (132 +59)/1,100 = 191/1,100 = 0.17364

5. Se diseñan placas para automóvil que consten de tres letras seguidas de cuatro dígitos, las letras se toman del abecedario y los números de los dígitos del 0 al 9, no se repiten letras y números, si se selecciona una placa al azar de las que se han diseñado, determine la probabilidad de que: a. La placa empiece por la letra D, b. La placa empiece por la letra D seguida de E, c. La placa termine por el número 4, d. La placa termine por el número 43, e. Si a un tránsito se le ha dado a la fuga un infractor, y recuerda que las placas empiezan por la letra E y terminan por el número 9¿cuántas placas tendrá que revisar el tránsito?, él alcanzó a ver que no se repetían letras y números, determine también la probabilidad de que encuentre al infractor.

Solución:

1. El espacio muestral será:

d = {₂₆P₃*₁₀P₄ = 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000 placas}

El espacio muestral está formado por todas las placas que es posible diseñar,

A = evento de que una placa empiece por la letra D

A = {1*₂₅P₂*₁₀P₄ = 1 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 3,024,000 placas}

p(A) = 3,024,000/78,624,000 = 0.03846

2. B = evento de que la placa empiece por la letra D seguida de la E

B = {1 x 1 x 24 x ₁₀P₄ = 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas}

p(B) = 120,960/78,624,000 = 0.0015385

3. C = evento de que la placa termine por el número cuatro

C = {₂₆P₃*₉P₃*1 = 26 x 25 x 24 x 9 x 8 x 7 x 1= 7,862,400 placas}

p(C) = 7,862,400/78,624,000 = 0.10

4. D = evento de que la placa termine por el número 43

D = {₂₆P₃*₈P₂ x 1 x 1 = 26 x 25 x 24 x 8 x 7 x 1 x 1 = 873,600 placas }

p(D) = 873,600/78,624,000 = 0.01111

6. Se lanza al aire un dado normal dos veces, a. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete?, b. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea mayor de siete?, c. ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen sea de cómo máximo cinco?, d. ¿cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento aparezca el número tres?

Solución:

1. Lo primero que hay que hacer es definir el espacio muestral correspondiente, si hacemos uso de un diagrama de árbol en donde representemos el primer lanzamiento del dado y luego su segundo lanzamiento  y obtendremos lo siguiente:

   (1,1)  (2,1)  (3,1)  (4,1)  (5,1)  (6,1)

         (1,2)  (2,2)  (3,2)  (4,2)  (5,2)  (6,2)

d =    (1,3)  (2,3)  (3,3)  (4,3)  (5,3)  (6,3)

         (1,4)  (2,4)  (3,4)  (4,4)  (5,4)  (6,4)

         (1,5)  (2,5)  (3,5)  (4,5)  (5,5)  (6,5)

         (1,6)  (2,6)  (3,6)  (4,6)  (5,6)  (6,6)

Como se observa, d = {36 elementos} cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir, por lo que;

1. A = evento de que la suma de los  números que aparecen sea de por lo menos siete

A = {21 elementos que son los que suman siete o más}

        (6,1)

        (5,2)  (6,2)

A =  (4,3)  (5,3)  (6,3)

        (3,4)  (4,4)  (5,4)  (6,4)

        (2,5)  (3,5)  (4,5)  (5,5)  (6,5)

        (1,6)  (2,6)  (3,6)  (4,6)  (5,6)  (6,6)

p(A) = 21/36 = 0.58333

b. B = evento de que la suma de los números que aparecen sea mayor de siete

B = {15 elementos, que son los que suman más de siete, 8 o más}

            (6,2)

            (5,3)  (6,3)

B =      (4,4)  (5,4)  (6,4)

            (3,5)  (4,5)  (5,5)  (6,5)

            (2,6)  (3,6)  (4,6)  (5,6)  (6,6)

p(B) = 15/36 = 0.41667

c. C = evento de que la suma de los números que aparecen sea de cómo máximo cinco

C = {10 elementos, los que suman 5 o menos}

       (1,1)  (2,1)  (3,1)  (4,1) 

C = (1,2)  (2,2)  (3,2)

       (1,3)  (2,3)

       (1,4)

p(C) = 10/36 = 5/18 = 0.27778

d. D = evento de que en el primer lanzamiento aparezca el número tres

D = {(3,1)  (3,2)  (3,3)  (3,4)  (3,5)  (3,6)}

p(D) = 6/36 = 1/6 = 0.16667