Se dice que un evento B es independiente de un evento A, si p(B½A) = p(B), esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra B no es afectada por la ocurrencia del evento A, la expresión anterior se puede sustituir en el teorema de la multiplicación para probabilidad condicional,
p(AÇB) = p(A)p(B½A) = p(A)p(B)
Luego,
p(AÇB) = p(A)p(B) Concepto de independencia
Si la expresión anterior se cumple, podemos decir que los eventos A y B son independientes.
Ejemplos:
Pruebas repetidas e independientes.
Sea d el espacio muestral del lanzamiento de una moneda tres veces,
d = {AAA, AAS, ASA, ASS, SAS, SAA, SSA, SSS}
Donde cada uno de los elementos de este espacio muestral está formado por tres pruebas repetidas e independientes que son los tres lanzamientos de la moneda, si deseamos determinar la probabilidad de cada uno de los elementos, nos encontraremos con lo siguiente;
p(AAA)=p(A1ÇA2ÇA3)=p(A1)p(A2½A1)p(A3½A1ÇA2)=p(A)p(A)p(A) =1/2*1/2*1/2=1/8
p(AAS) = p(A)p(A)p(S) =1/2*1/2*1/2 =1/8
p(ASA) = p(A)p(S)p(A) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8
etc, etc.
Con lo anterior se comprueba que efectivamente la probabilidad de cada uno de los elementos del espacio muestral descrito anteriormente es de 1/8 como se consideraba cuando se calculaban probabilidades para un espacio finito equiprobable.
Ejemplos:
1. Un equipo de fútbol soccer tiene una probabilidad de ganar de 0.6, una probabilidad de empatar de 0.3 y una probabilidad de perder de 0.1, si este equipo participa en dos juegos la semana próxima, determine la probabilidad de que; a. Gane el segundo juego, b. Gane ambos juegos, c. Gane uno de los juegos, d. Gane el primer juego y empate el segundo.
0.6G
0.6 G 0.3 E
0.1 P
0.3 E 0.6 G
0.3 E
0.1 0.1 P
P
0.6G
0.3 E
0.1 P
El espacio muestral sería:
d = {GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP}
Por lo que:
a. p(gane el segundo juego) = p(GG, EG, PG) = (0.6)(0.6) + (0.3)(0.6) + (0.1)(0.6) =
= 0.36 + 0.18 + 0.06 = 0.6
b. p(gane ambos juegos) = p(GG) = (0.6)(0.6) = 0.36
c. p(gane uno de los juegos) = p(GE, GP, EG, PG) = (0.6)(0.3) + (0.6)(0.1) + (0.3)(0.6) + (0.1)(0.6)
= 0.18 + 0.06 + 0.18 + 0.06 = 0.48
d. p(gane el primero y empate el segundo) = p(GE) = (0.6)(0.3) = 0.18
2.Un boxeador gana 8 de cada 10 peleas en las que compite, si este boxeador participará en tres peleas en los próximos seis meses, determine la probabilidad de que; a. Gane dos de las peleas, b. Si gana dos de las peleas, ¿cuál es la probabilidad de que sean la primera y tercera peleas?, c. Gane la segunda pelea.
0.8 G 
0.8 G 0.2 P
8/10 = 0.8 G 0.2 P 0.8 G
0.2 P
0.2 P 0.8G
0.2 P
0.2 P 0.8 G
0.8 G
0.2 P
Del diagrama anterior obtenemos el siguiente espacio muestral;
d={GGG. GGP, GPG, GPP, PGG, PGP, PPG, PPP}
a. p(gane dos de las peleas) = p(GGP, GPG, PGG) = (0.8)(0.8)(0.2) + (0.8)(0.2)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.8) = 0.128 + 0.128 + 0.128 = 0.384
b. E = evento de que gane dos peleas
E ={ GGP, GPG, PGG }, p(E) = 0.348
A = evento de que gane la primera y la tercer pelea
A={GGG, GPG}
AÇB = {GPG}, p(AÇB) = (0.8)(0.2)(0.8) =0.128
P(A½E) = p(AÇE) / p(E) = 0.348/0.128= 0.3333
c. p(gane la segunda pelea) = p(GGG, GGP, PGG, PGP) = (0.8)(0.8)(0.8) + (0.8)(0.8)(0.2) + (0.2)(0.8)(0.8) + (0.2)(0.8)(0.2) = 0.512 + 0.128 + 0.128 + 0.032= 0.8
3.Tres hombres tiran a un blanco, A tiene 1/3 de posibilidades de acertar al blanco, B tiene 1/2 de posibilidades de acertar y C tiene 1/4 de posibilidades de pegar al blanco, si cada uno de ellos hace un solo disparo, determine la probabilidad de que; a. Solo uno de ellos acierte al blanco, b. Si solo uno de ellos acierta al blanco, ¿cuál es la probabilidad de que acierte A?, c. Determine la probabilidad de que ninguno acierte al blanco.
Solución:
Haciendo uso de un diagrama de árbol se obtiene el siguiente espacio muestral;
d ={ABC, ABC`, AB`C, AB`C`, A`BC, A`BC`, A`B`C, A`B`C`}
donde: A = acierta A, A`= no acierta A, B = acierta B, B`= no acierta B, etc., etc.
p(solo uno de ellos acierte al blanco) = p(AB`C`, A`BC`, A`B`C) = 1/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*3/4 + 2/3*1/2*1/4 = 3/24 + 6/24 + 2/24 = 11/24 = 0.45833
a. E = evento de que solo uno de ellos acierte al blanco
E = {AB`C`, A`BC`, A`B`C}; p(E) =11/24
A = evento de que A acierte al blanco = { ABC, ABC`, AB`C, AB`C`}
AÇE = { AB`C`} = 1/3*1/2*3/4 = 3/24
p(A½E)= p(AÇE)/p(E) = (3/24)/(11/24) = 3/11 = 0.27273
b. p(ninguno acierte al blanco) = p(A´B´C´) = 2/3*1/2*3/4 = 6/24 = 0.25
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