Espacios Finitos de Probabilidad

Sea  d el espacio muestral, que contiene n elementos {a₁, a₂, a₃,.....,a_n}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad p_i ³ 0, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las siguientes características:

1)    Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d deben ser mayores o iguales a cero, p_i³0.

2)    La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d debe de ser igual a 1.

Sp_i = 1

En caso de que no se cumpla con las características antes mencionadas, entonces  no se trata de un espacio finito de probabilidad.

Ejemplos:

1.Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al número que ostenta, a) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?, b) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número primo?

Solución:

                        d = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

En este caso asignaremos las probabilidades como sigue;

p(aparezca el número 1) = p,  p(aparezca el número 2) = 2p, .....,

p(aparezca el número 5) = 5p, p(aparezca el número 6) = 6p

Y por ser d un espacio finito de probabilidad, entonces,

p(d) = p + 2p +  3p + 4p + 5p + 6p =1

Por tanto,   21p = 1, luego,  p = 1/21

a.       Luego;

A = evento de que aparezca un número par = {2, 4, 6}

p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21= 0.5714

b.      B = es el evento de que aparezca un número primo = {1, 2, 3, 5}

p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21) = 11/21 = 0.5238

2. En una competencia de nado sincronizado, participan los equipos de Ecuador, México y Venezuela, México tiene el doble de posibilidades de ganar que Ecuador, mientras que Venezuela tiene un tercio menos de posibilidades de ganar que ecuador, a. Determine la probabilidad de que gane Venezuela, b. Determine la probabilidad de que gane Ecuador o Venezuela, c. Determine la probabilidad de que no gane México.

Solución:

                        d = {Ecuador, México Venezuela}

Por ser un espacio finito de probabilidad, p(d) = 1, luego,

P(d) = p(gane Ecuador) + p(gane México) + p(gane Venezuela) = p + 3p + 2/3p=1

Como 14/3p = 1,                 luego p = 3/14

a. p(gane Venezuela) = 2/3 p = 2/3*3/14 = 2/14 = 1/7 = 0.14285

b. p(gane Venezuela o Ecuador)=p(gane Venezuela)+p(gane Ecuador)=

 p(gane  Venezuela o Ecuador)= 2/3p + p = 5/3 p = 5/3*3/14 =5/14 = 0.35714

c. p(no gane México) = p(gane Venezuela o Ecuador) = 1 – p(gane México) = 1 – 3p =

= 1 – 3(3/14) = 1 – 9/14  = 5/14 = 0.35714

 3. En una competencia de ciclismo participan A, B y C, A tiene el doble de posibilidades de ganar que B y B el doble que C, a. Determine la probabilidad de que gane B, b. Determine la probabilidad de que gane A o B.

Solución:

d={ A, B, C}, y por ser un espacio finito de probabilidad,

p(d) = p(gane A) + p(gane B) + p(gane C) = 4p + 2p + p = 1

Como 7p = 1,    luego, p = 1/7

a.       p(gane B) = 2p = 2(1/7) = 2/7 = 0.28571

b.      p(gane A o B) = 4p + 2p = 6p = 6(1/7) = 6/7 = 0.85714