Particiones Ordenadas

Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x₁ objetos, x₂ objetos,......y x_k objetos.

Para deducir la fórmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?

Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;

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Solución:

Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;

                        ₁₀C₂ = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los libros

Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;

                         ₈C₃ = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras

Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación;

                         ₅C₅ = 5! / (5 –5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera

Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina:

                                 ₁₀C₂*₈C₃*₅C₅ = (10! / (10 – 2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10! /2!3!5!

La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas.

Por tanto la fórmula para las particiones ordenadas sería:

 

                                              

Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones.

Donde:

nPx₁,x₂,.....,x_k = Total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos son repartidos en grupos de x₁ objetos, x₂ objetos ...... y x_k objetos.

               n = x₁ + x₂ + ......+ x_k

Ejemplos:

1)      ¿Cuántas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea que al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?

Solución:

Por combinaciones,

₉C₄*₅C₂*₃C₃ = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetes

Por fórmula,

n = 9

x₁ = 4

x₂ = 2

x₃ =3

₉P₄,₂,₃ = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes

2)      ¿Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9 juguetes entre tres niños, si se desea darle 3 al primer niño, 2 al segundo niño y 2 al tercer niño?

Solución:

En este caso únicamente se puede dar solución por combinaciones, ya que no es posible usar la fórmula debido a que se reparten solo parte de los juguetes.

₉C₃*₆C₂*₄C₂ = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes)

3)      a. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto?, b. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer alumno?

Solución:

a.       Por fórmula:

n = 14

x₁ = 5

x₂ = 5

x₃ = 4

₁₄P₅,₅,₄ = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos de 5, 5 y 4 libros

b.      Por combinaciones:

₁₄C₅*₉C₃*₆C₂ = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3 y 2 libros

4)      a.¿Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas cada uno de ellos  para que realicen prácticas de laboratorio diferentes?, b. ¿Cuantas maneras hay de que se repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a realizar una misma práctica?

Solución:

a.       En este caso al ser prácticas de laboratorio diferentes, es posible resolver el problema por combinaciones o por la fórmula, dado que se reparten todos los alumnos

Por fórmula:

n = 12

x₁ = 3 práctica 1

x₂ = 3 práctica 2

x₃ = 3 práctica 3

x₄ = 3  práctica 4

₁₂P₃,₃,₃,₃ = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3 personas para realizar prácticas diferentes

b.      En este caso lo más probable es que se crea que la solución es igual que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una misma práctica, el orden en el que se hace la repartición no tiene importancia, ya que al equipo de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en el segundo o tercero, ya que la práctica a realizar es la misma, entonces la solución es;

₁₂P₃,₃,₃,₃ * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en equipos de 3 personas para realizar una misma práctica

Al multiplicar la solución que se da al inciso a, por 1/4! se está quitando el orden de los grupos, que en este caso no nos interesa.