Probabilidad y Estadistica: diciembre 2014

martes, 2 de diciembre de 2014

Problemas Propuestos

1. Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que las vidas de tales ratas están normalmente distribuidas con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada viva

a) más de 32 meses;

b) menos de 28 meses;

c) entre 37 y 49 meses.

r. a) 0.8980 b) 0.0287

c) 0.6080

2. Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una cierta pastelería tienen una longitud de 30cm y una desviación estándar de 2cm. Suponiendo que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de las piezas son

a) de más de 31.7cm de longitud?

b) entre 29.3 y 33.5 cm de longitud?

c) de una longitud menor que 25.5 cm?

r. a) 19.77%

b) 59.67%

c) 1.22%

3. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 ml.

a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 ml?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml?

c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 ml en los siguientes 1000 refrescos?

d) ¿Debajo de qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos?

r. a) 0.0548

b) 0.4514

c) 23

d) 189.95 ml

4. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente distribuido con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm.

a) ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda de 10.075 cm?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre 9.97 y 10.03 cm?

c) ¿Debajo de qué valor de diámetro interno caerá el 15% de los anillos de pistón?

r. a) 0.0062

b) 0.6826

c) 9.969 cm

5. Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3.8 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado está normalmente distribuida.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos ½ hora?

b) Si la oficina abre a las 9:00 AM y él sale de su casa a las 8:45 AM diariamente ¿Qué porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo?

c) Si deja su casa a las 8:35 AM y en la oficina se sirve un café entre las 8:50 y las 9:00 AM ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café?

d) Encuentre el periodo arriba del cual se encuentra el 15% de los traslados más lentos.

e) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes traslados tomarán al menos ½ hora.

r. a) 0.0571

b) 99.11%

c) 0.3974

d) 27.952

e) 0.0092

6. Las estaturas de 1000 estudiantes están normalmente distribuidas con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Suponiendo que las alturas se registran cerrando los valores a los medios centímetros, ¿Cuántos estudiantes tendrían estaturas

a) menores que 160.0 cm?

b) entre 171.5 y 182 cm?

c) de 175 cm?

d) mayores que o iguales a 188.0 cm?

r. a) 16

b) 549

c) 28

d) 27

7. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos aproximadamente en forma normal y los montos se cierran a centavos,

a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $8.75 y $9.69 por hora inclusive?

b) ¿el 5% más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a qué cantidad?

r. a) 56.99%

b) $10.23

8. La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está normalmente distribuida con una media de 10 000 kg/cm² y una desviación estándar de 100 kg/cm². Las mediciones se registran y se redondean a 50 kg.

a) ¿Cuál es la proporción de estos componentes que exceden de 10 150 kg/cm² de resistencia a la tensión?

b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión entre 9800 y 10200 kg/cm²inclusive, ¿qué porcentaje de piezas se esperaría que se desecharan?

r. a) 0.0401

b) 0.0244

9. Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de éstas difiere de la media en

a) más de 1.3s?

b) menos de 0.5s?

r. a) 19.36%

b) 39.70%

10. La precipitación pluvial promedio, registrada hasta centésimas de milímetro en Roanoke, Virginia, en el mes de marzo es de 9.22 centímetros. Suponiendo que se trata de una distribución normal con una desviación estándar de 2.83 cm, encuentre la probabilidad de que el próximo marzo Roanoke tenga

a) menos de 1.84 cm de lluvia;

b) más de 5 cm pero no más de 7 de lluvia;

c) más de 13.8 cm de lluvia.

r. a) 0.0045

b) 0.1496

c) 0.0526

11. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan, ¿qué tan larga deberá ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores siguen una distribución normal.

r. 6.24 años

12. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan del proceso 100 artículos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el número de defectuosos

a) exceda de 13?

b) sea menor de 8?

r. a) 0.1210

b) 0.2033

13. Investigadores de la George Washington University y el National Institute of Health reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los tranquilizantes funcionan muy bien para que una persona esté más tranquila y más relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, ¿cuál es la probabilidad de que

a) al menos 50 sean de la misma opinión?

b) mas de 56 sean de la misma opinión?

r. a) 0.9966

b) 0.1841

14. Si 20% de los residentes en una ciudad de los Estados Unidos prefiere un teléfono blanco que cualquier otro color disponible, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se instalen en esta ciudad

a) entre 170 y 185 inclusive sean blancos?

b) al menos 210 pero no más de 225 sean blancos?

r. a) 0.1171

b) 0.2049

15. Un fabricante de medicamentos sostiene que cierta medicina cura una enfermedad de la sangre en el 80% de los casos. Para verificarlo, los inspectores del gobierno utilizan el medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar dicha afirmación si se curan 75 o más.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que lo que se dice sea rechazado cuando la probabilidad de curación sea, en efecto, 0.8?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la afirmación sea aceptada por el gobierno cuando la probabilidad de curación sea menor a 0.7?

r. a) 0.0838

b) 0.1635

16. Estadísticas publicadas por la National Highway Traffic Safety Adminitration y el National Safety Council muestran que en una noche de fin de semana, en promedio, 1 de cada 10 conductores está ebrio. Si se verifican 100 conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado, ¿cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea

a) menor de 32?

b) más de 49?

c) al menos 35 pero menos de 47?

r. a) 0.0778

b) 0.0571

c) 0.6811

17. La cantidad de tiempo durante el que funciona una cámara de vigilancia sin que se le reponga es una variable aleatoria con distribución exponencial, con b = 50 días. Determine las probabilidades de que una cámara así, a) tenga que ser repuesta en menos de 20 días, b) tenga que ser repuesta en al menos 40 días.

18. Una refinadora de azúcar tiene 3 plantas de proceso, y todas reciben azúcar morena a granel. La cantidad de azúcar que puede procesar una planta en un día se pude representar mediante una función exponencial con un promedio de 4 (mediciones en toneladas), para cada una de las tres plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, calcular la probabilidad de que sean exactamente 2 de las tres plantas las que procesen más de 4 toneladas en un día determinado.

r.0.26

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.

La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad es:

, x > 0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso

donde b > 0

La media y la variancia de la distribución exponencial son:

m = b y s² = b²

Relación con el proceso de Poisson.

Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson.

La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:

;

Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está dado por . Como resultado,

P(X ³ x) =

Entonces, la función de distribución acumulada para x es:

P(0£ X £ x) = 1 -

Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad:

f(x) =

La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con .

Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro , el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro importante es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable.

En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en un problema de confiabilidad. La distribución binomial también juega un papel importante en la solución.

Ejemplos:

Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

Solución:

La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:

la | nos indica que la integral se va a evaluar desde 8 hasta ¥

Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial,

n = 5

p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años

q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años

P(x ³ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)

El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?

Solución:

lanos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3

x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos

x = 0, 1, 2,...,6 días

p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276

q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724

= 0.11587 + 0.02157 = 0.13744

APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros

m = np = media de la distribución Binomial

s = = desviación estándar de la distribución Binomial

Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.

En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,

Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

¿Porqué vamos a sumar o a restar ½ a x?

Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqué del ± ½.

Ejemplos:

1. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan?, b) más de 46 sobrevivan?, c) menos de 50 no sobrevivan?

Solución:

n = 100

p = p(paciente se recupere) = 0.40

q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60

m = np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen

s = = pacientes que se recuperan

x = variable que nos define el número de pacientes que se recuperan

x = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

X = 29.5

m = 40

p( z = -2.14) =0.4838

p(x ³ 30 ) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838

p(z = 1.33) = 0.4082

p(x > 46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918

b) n = 100

p = p(paciente no sobreviva) = 0.60

q = p(paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40

pacientes que no se recuperan

x = variable que nos define el número de pacientes que no sobreviven

x = 0, 1, 2, ....,100

p( z = -2.14) = 0.4838

p(x < 50) = 0.5 – p(z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162

2. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos?

Solución:

n = 80

p = p(dar una contestación correcta) = 0.25

q = p(dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75

preguntas contestadas correctamente

x = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80

, p(z₁= 1.16) = 0.377

, p(z₂ = 2.71) = 0.4966

p(25 £ x ³ 30) = p(z₂) – p(z₁) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196

3. Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea a) menos de 354 productos sean defectuosos?, b) entre 342 y 364 productos sean defectuosos?, c)exactamente 354 productos sean defectuosos?

Solución:

a)n = 1000

p = p(un producto sea defectuoso) = 0.35

q = p(un producto no sea defectuoso) = 1- p = 0.65

productos defectuosos